提到無理數，大家都了解，有朋友問什么叫做有理數和無理數，當然了，還有朋友想問有理數和無理數的定義，這到底怎么回事呢？實際上寫出三個常見的無理數呢，下面小編整理了有理數和無理數的區別，一起來看看吧。

有理數和無理數的區別

1、把有理數和無理數都寫成小數形式時，有理數能寫成有限小數和無限循環小數。

比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數只能寫成無限不循環小數,

比如√2=1.414213562…………根據這一點,人們把無理數定義為無限不循環小數。

2、所有的有理數都可以寫成兩個整數之比；而無理數不能。

根據這一點，有人建議給無理數摘掉“無理”的帽子，把有理數改叫為“比數”，把無理數改叫為“非比數”。

3、有理數的位數是有限的，二無理數的位數是無限的。

有理數和無理數的和一定為無理數。

有理數可以化為兩整數比(即分數)的形式，而無理數則不能。假設有理數a/b與無理數x的和是有理數c/d，其中a,b,c,d都是整數，且b,d不為零那么a/b+x=c/d, x=c/d-a/b=(bc-ad)/bdx可以化為兩整數bc-ad和bd的比的形式。

x是有理數，這與題設x是無理數矛盾。所以一個有理數與一個無理數的和不能是有理數，一定為無理數。

有理數：通常我們把能夠寫成分數形式稱為有理數。有理數是一個整數a和一個正整數b的比，例如3/8，通則為a/b。有理數的小數部分是有限或為無限循環的數。0也是有理數，整數和分數統稱有理數，整數也可看做是分母為一的分數。比如4=4.0, 4/5=0.8,。

無理數：不是有理數的實數稱為無理數，即無理數的小數部分是無限不循環的數。如圓周率、√2(根號 2)，1/3=0.33333……

擴展資料：

實數（real munber)分為有理數和無理數(irrational number)。

有理數分為整數和分數

整數又分為正整數、負整數和0

分數又分為正分數、負分數

正整數和0又被稱為自然數

有理數和無理數定義的區別是什么

有理數和無理數定義有3點不同：

一、兩者的含義不同：

1、有理數的含義：數學中，有理數是一個整數a和一個正整數b的比，例如3/8，通常為a/b，0也是有理數。

2、無理數的含義：在數學中，無理數是所有不是有理數字的實數，后者是由整數的比率（或分數）構成的數字。

二、兩者的特征不同：

1、有理數的特征：有理數的小數部分是有限或為無限循環的數。

2、無理數的特征：無理數的小數部分是無限不循環的數。

三、兩者的實質不同：

1、有理數的實質：有理數為整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱。正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。

由于任何一個整數或分數都可以化為十進制循環小數，反之，每一個十進制循環小數也能化為整數或分數，因此，有理數也可以定義為十進制循環小數。

2、無理數的實質：無理數是指實數范圍內不能表示成兩個整數之比的數。簡單的說，無理數就是10進制下的無限不循環小數，如圓周率、根號2等。

有理數和無理數的區別

整數和分數統稱為有理數，任何一個有理數都可以寫成分數m/n的形式，m，n都是整數，且n≠0，m，n互質。

　　無限不循環小數和開根開不盡的數叫無理數 ,比如π，3.1415926535897932384626......

　　而有理數恰恰與它相反,整數和分數統稱為有理數

　　包括整數和通常所說的分數，此分數亦可表示為有限小數或無限循環小數。

　　這一定義在數的十進制和其他進位制（如二進制）下都適用。

　　數學上，有理數是一個整數 a 和一個非零整數 b 的比(ratio)，通常寫作 a/b，故又稱作分數。希臘文稱為 λογο?? ，原意為“成比例的數”(rational number)，但中文翻譯不恰當，逐漸變成“有道理的數”。不是有理數的實數遂稱為無理數。

　　所有有理數的集合表示為 Q，有理數的小數部分有限或為循環。

　　有理數分為整數和分數

　　整數又分為正整數、負整數和0

　　分數又分為正分數、負分數

　　正整數和0又被稱為自然數

　　如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理數。

　　全體有理數構成一個集合，即有理數集，用粗體字母Q表示，較現代的一些數學書則用空心字母Q表示。

　　有理數集是實數集的子集。相關的內容見數系的擴張。

　　有理數集是一個域，即在其中可進行四則運算（0作除數除外），而且對于這些運算，以下的運算律成立（a、b、c等都表示任意的有理數）：

　?、偌臃ǖ慕粨Q律 a+b=b+a；

　?、诩臃ǖ慕Y合律 a+(b+c)=(a+b)+c；

　?、鄞嬖跀?，使 0+a=a+0=a；

　?、軐θ我庥欣頂礱，存在一個加法逆元，記作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；

　?、莩朔ǖ慕粨Q律 ab=ba；

　?、蕹朔ǖ慕Y合律 a(bc)=(ab)c；

　?、叻峙渎?a(b+c)=ab+ac；

　?、啻嬖诔朔ǖ膯挝辉?≠0，使得對任意有理數a，1a=a1=a；

　?、釋τ诓粸?的有理數a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。

　?、?a＝0 文字解釋：一個數乘0還于0。

　　此外，有理數是一個序域，即在其上存在一個次序關系≤。

　　有理數還是一個阿基米德域，即對有理數a和b，a≥0，b>0，必可找到一個自然數n，使nb>a。由此不難推知，不存在最大的有理數。

　　值得一提的是有理數的名稱。“有理數”這一名稱不免叫人費解，有理數并不比別的數更“有道理”。事實上，這似乎是一個翻譯上的失誤。有理數一詞是從西方傳來，在英語中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學著作，依據日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數”。但是，這個詞來源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這里的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數的“比”。與之相對，“無理數”就是不能精確表示為兩個整數之比的數，而并非沒有道理。

　　有理數加減混合運算

　　1.理數加減統一成加法的意義：

　　對于加減混合運算中的減法，我們可以根據有理數減法法則將減法轉化為加法，這樣就可將混合運算統一為加法運算，統一后的式子是幾個正數或負數的和的形式，我們把這樣的式子叫做代數和。

　　2.有理數加減混合運算的方法和步驟：

　?。?）運用減法法則將有理數混合運算中的減法轉化為加法。

　?。?）運用加法法則，加法交換律，加法結合律簡便運算。

　　有理數范圍內已有的絕對值，相反數等概念，在實數范圍內有同樣的意義。

　　一般情況下，有理數是這樣分類的：

　　整數、分數；正數、負數和零；負有理數，非負有理數

　　整數和分數統稱有理數,有理數可以用a/b的形式表達，其中a、b都是整數，且互質。我們日常經常使用有理數的。比如多少錢，多少斤等。

　　凡是不能用a/b形式表達的實數就是無理數，又叫無限不循環小數

　　一個困難的問題

　　有理數的邊界在哪里？

　　根據定義，無限循環小數和有限小數（整數可認為是小數點后是0的小數），統稱為有理數，無限不循環小數是無理數。

　　但人類不可能寫出一個位數最多的有理數，對全地球人類，或比地球人更智慧的生物來說是有理數的數，對每個地球人來說，可能是無法知道它是有理數還是無理數了。因此有理數和無理數的邊界，竟然緊靠無理數，任何兩個十分接近的無理數中間，都可以加入無窮多的有理數，反之也成立。

　　竟然沒有人知道有理數的邊界，或者說有理數的邊界是無限接近無理數的。

　　定理：位數最多的非無限循環有理數是不可能被寫出的，盡管它的定義是有有限位，但它是無限趨近于無理數的，以致于沒有手段進行判斷。

　　證明：假設位數最多的非無限循環有理數被寫出，我們在這個數的最后再加一位，這個數還是有限位有理數，但位數比已寫出有理數多一位，證明原來寫出的不是位數最多的非無限循環有理數。所以位數最多的非無限循環有理數是不可能被寫出的。

　　關于無理數與有理數無法比較的說明：

　　對于定義無限不循環小數是無理數，無理數之外為有理數。則無理數很難被證實，而每一個無理數，無論認識多少位，都有有理數對應，而位數較短的有理數，都沒有無理數對應，因此有理數多。

　　對于定義為有限位小數和無限循環小數為有理數，無限不循環數為無理數。對于很多位數多的無法分辨的數沒有明確歸屬，而認為大于特定有限位的數都是無理數的人，才能證明無理數比有理數多，但那明顯是將很多很多有理數歸為無理數的結果。在這個定義下，由于界限不明，無法進行比較，除非有人能有力的證明。

　　無限不循環小數不是有理數，如：

　　0.10100100010000100000......

　　0.1200000012000012000000120000......

　　π

　　等是無限不循環小數，所以不是有理數

　　循環小數化分數的方法

　　0.777777......

　　有一個數循環，分母是一個9，循環數是7.化分數后是7/9

　　0.535353......

　　有兩個數循環，分母是兩個9，循環數是53.化分數后是53/99

　　我們可以在數軸上表示有理數.注意畫數軸的三要素(原點,正方向,單位長度).

有理數和無理數的定義和區別 急急

有理數指整數可以看作分母為1的分數。正整數、0、負整數、正分數、負分數都可以寫成分數的形式，這樣的數稱為有理數

無理數，即非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之后的數字有無限多個，并且不會循環。 常見的無理數有大部分的平方根、π和e（其中后兩者同時為超越數）等。

有理數與實數的區別

有理數與實數的區別：

1、性質不同

有理數：有理數為整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱。正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。

實數：實數是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上的實數，點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。

2、所屬不同

有理數：有理數屬于實數，有理數包括正整數、0、負整數，又包括正整數和正分數，負整數和負分數。

實數：實屬包括有理數，實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。

有理數加法運算：

1、同號兩數相加，取與加數相同的符號，并把絕對值相加。

2、異號兩數相加，若絕對值相等則互為相反數的兩數和為0；若絕對值不相等，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

3、互為相反數的兩數相加得0。

4、一個數同0相加仍得這個數。

5、互為相反數的兩個數，可以先相加。

6、符號相同的數可以先相加。

7、分母相同的數可以先相加。

8、幾個數相加能得整數的可以先相加。

實數，有理數，無理數，自然數，這些到底有什么區別

實數包括有理數和無理數

自然數包括0和正整數

無理數指無限不循環小數，例如圓周率，根號3

有理數包括整數和分數

常見的無理數有哪三種形式

常見的無理數有以下四種形式：

1、無窮不循環小數：3.14159265........

2、根式：(√5-1)/2

3、函數式：lg2，sin1°

4、專用符號：e，π，γ

有理數運算定律

1、加法運算律:

（1）、加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，和不變，即

（2）、加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加或者先把后兩個數相加，和不變，即

2、減法運算律：

（1）減法運算律：減去一個數，等于加上這個數的相反數。即： 

3、乘法運算律：

（1）、乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積不變，即

（2）、乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數先乘，或者先把后兩個相乘，積不變，即

4、乘法分配律：

（1）、某個數與兩個數的和相乘等于把這個數分別與這兩個數相乘，再把積相加，即

 

 

0是有理數還是無理數？

0是有理數

怎么判斷帶根號的數是有理數還是無理數？

要看根號下的那個數是不是完全平方數，即它能寫成另一個數的平方。如果是一個完全平方數，開根號后就是有理數；反之，是無理數。

數學上，有理數是一個整數a和一個正整數b的比，例如3/8，通則為a/b。0也是有理數。有理數是整數和分數的集合，整數也可看做是分母為一的分數。有理數的小數部分是有限或為無限循環的數。不是有理數的實數稱為無理數，即無理數的小數部分是無限不循環的數。

舉例：

若a^n=b，那么a是b開n次方的n次方根或a是b的1/n次方。開n次方手寫體和印刷體用√￣表示，被開方的數或代數式寫在符號左方v形部分的右邊和符號上方一橫部分的下方共同包圍的區域中，而且不能出界。

有理數集與整數集的一個重要區別是，有理數集是稠密的，而整數集是密集的。將有理數依大小順序排定后，任何兩個有理數之間必定還存在其他的有理數，這就是稠密性。整數集沒有這一特性，兩個相鄰的整數之間就沒有其他的整數了。

有理數是實數的緊密子集：每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是，僅有理數可化為有限連分數。依照它們的序列，有理數具有一個序拓撲。有理數是實數的（稠密）子集，因此它同時具有一個子空間拓撲。

無理數是指實數范圍內不能表示成兩個整數之比的數。簡單的說，無理數就是10進制下的無限不循環小數，如圓周率、等。

而有理數由所有分數，整數組成，總能寫成整數、有限小數或無限循環小數，并且總能寫成兩整數之比，如21/7等。